P(x) Polinomios

Hoja de consulta

Todo el tema en dos caras de un A4. Descarga el PDF y imprímelo a doble cara (o dos hojas) para tenerlo en la mesa mientras estudias.

Abrir el PDF para imprimirSi imprimes desde el navegador: A4, vertical, márgenes mínimos.
Hoja de consulta · Polinomios (1/2)Lenguaje, suma, resta, producto e identidades

1Piezas de un polinomio

P(x) = 4x3 − 2x2 + x − 7

  • Grado: mayor exponente → 3
  • Coef. principal: el de x3 → 4
  • Término independiente: −7 (es P(0))
  • Ordenado y completo: de mayor a menor grado, con 0 donde falte un grado.

1Valor numérico y raíz

Sustituye la x entre paréntesis y calcula.

P(x)=x2−3x+2 → P(−2)=(−2)2−3(−2)+2=12

Si P(a)=0, entonces a es una raíz de P.

(−2)2 = 4, no −4.

2Suma y resta

Solo se juntan términos semejantes (misma letra y exponente). Se suman los coeficientes; el exponente no cambia.

Restar = sumar el opuesto: cambian los signos de TODOS los términos.

(5x2 + 3x − 2) − (2x2 − x + 4) = 3x2 + 4x − 6

3Multiplicación

  • Signos: +·+=+, −·−=+, +·−=−.
  • Coeficientes: se multiplican.
  • Exponentes: se suman xa·xb=xa+b.
  • Cada término por cada término (tabla). Grado del producto = suma de grados.
(x+3)(x−2)=x2−2x+3x−6=x2+x−6

4Identidades notables

(a+b)2a2+2ab+b2
(a−b)2a2−2ab+b2
(a+b)(a−b)a2−b2
(a+b)3a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3a3−3a2b+3ab2−b3

Pasos: marca a y b → sustituye entre paréntesis → calcula.

(a+b)2 ≠ a2+b2 (falta 2ab).

2Errores que más cuestan puntos

  • Restar y cambiar solo el primer signo.
  • Sumar exponentes al sumar: 3x2+5x2=8x2.
  • Olvidar los productos cruzados: (x+3)(x−2)≠x2−6.
  • Último término de (a−b)2 negativo.
  • Comprobar con un número: sustituye x=1 en el enunciado y en tu resultado.
Hoja de consulta · Polinomios (2/2)División, Ruffini, teoremas y factorización

5División

D(x) = d(x)·c(x) + r(x) y grado de r < grado de d.

  1. Divide los primeros términos.
  2. Multiplica por todo el divisor.
  3. Resta (cambia signos).
  4. Repite hasta grado(resto) < grado(divisor).

Completa con 0 los grados que falten.

6x3 + x2 − 10x + 4 ÷ (2x + 3) → c = 3x2 − 4x + 1, r = 1

6Regla de Ruffini

Para dividir entre x−a. a es el opuesto: x+3 → a=−3.

Baja · multiplica por a · suma.

1−416
22−4−6
1−2−30

Cociente x2 − 2x − 3 (un grado menos), resto 0.

7Teoremas del resto y del factor

  • Resto de P(x)÷(x−a) = P(a).
  • P(a)=0 ⇔ a raíz ⇔ (x−a) factor ⇔ división exacta.
  • Raíces enteras candidatas: divisores del término independiente (±).

Si P(−5)=0, el factor es (x+5).

Parámetro: impón P(a)=0 y despeja.

8Factorizar: orden de trabajo

  1. Factor común.
  2. Identidades (diferencia de cuadrados, cuadrado perfecto).
  3. Ruffini con raíces candidatas; repite con el cociente.
  4. Segundo grado: fórmula.
x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)

Al terminar, multiplica los factores para comprobar.

8Ecuación de segundo grado

ax2+bx+c=0

x=−b ± √(b2−4ac)2a
b2−4acRaíces reales
> 0dos
= 0una doble
< 0ninguna

Se factoriza a(x−x1)(x−x2).

5Antes de entregar

  • Comprueba D = d·c + r.
  • El grado del resultado, ¿tiene sentido?
  • Signos: revisa cada resta.
  • ¿Escribiste los 0 de los grados que faltan?
  • ¿Se puede factorizar algo más?