P(x) Polinomios
Temario / Módulo 4
4

Identidades notables

Cuadrados, suma por diferencia y cubos

Al terminar sabrás

  • Desarrollar (a±b)² y (a+b)(a−b)
  • Desarrollar cubos de binomios
  • Aplicar las fórmulas con tres pasos
  • Reconocerlas al revés para factorizar

El cuadrado de una suma y de una diferencia

Elevar al cuadrado un binomio no es elevar cada término. Mira el área de un cuadrado de lado a+b:

a2 ab ab b2 a b a b
El cuadrado grande tiene lado a + b. Su área es la suma de las cuatro zonas.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Con la resta, el término central cambia de signo y el último sigue siendo positivo:

(a−b)2 = a2 − 2ab + b2

  • Primer término al cuadrado: a2.
  • El doble del primero por el segundo: 2ab (con el signo del binomio).
  • Segundo término al cuadrado: b2 (siempre positivo).

Suma por diferencia

Cuando los dos binomios son iguales salvo el signo central, los términos cruzados se cancelan:

(a+b)(a−b) = a2 − b2

Compruébalo: (a+b)(a−b) = a2 − ab + ab − b2. Los dos términos del medio se anulan.

Ejemplo: (3x + 7)(3x − 7) = 9x2 − 49.

Cubos de un binomio

Los coeficientes 1, 3, 3, 1 vienen de una fila del triángulo de Pascal. En la resta, los signos alternan.

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a−b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Ejemplos: (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 y (x − 1)3 = x3 − 3x2 + 3x − 1.

Cómo aplicarlas sin equivocarte

Siempre los mismos pasos: identifica a y b, sustituye en la fórmula, calcula. Ejemplo con (3x − 2)2:

  1. Identifica a y b: a = 3x, b = 2.
  2. Aplica (a−b)2 = a2 − 2ab + b2.
  3. Sustituye: (3x)2 − 2·(3x)·(2) + (2)2.
  4. Calcula: 9x2 − 12x + 4
Truco
El paso de sustituir con paréntesis evita fallos: (3x)2 = 9x2, no 3x2.

Al revés: reconocer identidades (factorizar)

Las identidades también sirven para escribir un polinomio como producto. Esto es la base de la factorización (módulo 8).

Si ves…Comprueba…Se factoriza como
x2 + 10x + 25primero y último son cuadrados (x2, 52) y el medio es 2·x·5=10x(x + 5)2
9x2 − 12x + 4(3x)2, 22 y el medio es 2·3x·2=12x(3x − 2)2
4x2 − 81resta de dos cuadrados: (2x)2 y 92(2x − 9)(2x + 9)
Cuidado
Un trinomio solo es un cuadrado perfecto si el término central es exactamente el doble del producto. Si no, no se factoriza así: x2+6x+25 no es (x+5)2.

Errores típicos

Mal
(a+b)2 = a2 + b2
Bien
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Prueba con números: (3+4)2 = 49, pero 32 + 42 = 25. Falta el término 2ab = 24.

Mal
(x−5)2 = x2 − 10x − 25
Bien
(x−5)2 = x2 − 10x + 25

El último término es b2, y un cuadrado nunca es negativo.

Mal
(2x+3)(2x−3) = 4x2 − 12x − 9
Bien
(2x+3)(2x−3) = 4x2 − 9

En suma por diferencia no hay término central.

Pruébalo tú

Resuelve primero en tu cuaderno y luego comprueba.

Pruébalo tú

Desarrolla (x + 7)2.

Comprobar mi resultado
  1. Identifica a y b: a = x, b = 7.
  2. Aplica la fórmula (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
  3. Sustituye: (x)2 + 2·(x)·(7) + (7)2.
  4. Calcula cada parte y ordena: x2 + 14x + 49

Resultado: x2 + 14x + 49

Pruébalo tú

Desarrolla (5x + 3)(5x − 3).

Comprobar mi resultado
  1. Identifica a y b: a = 5x, b = 3.
  2. Aplica la fórmula (a+b)(a−b) = a2 − b2.
  3. Sustituye: (5x)2 − (3)2.
  4. Calcula cada parte y ordena: 25x2 − 9

Resultado: 25x2 − 9

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