P(x) Polinomios
Temario / Módulo 8
8

Factorización y raíces

Descomponer un polinomio en factores

Al terminar sabrás

  • Seguir el orden: factor común, identidades, Ruffini, segundo grado
  • Encontrar raíces enteras
  • Escribir un polinomio como producto de factores
  • Reconocer raíces dobles y factores que no se descomponen

Factorizar: escribir como producto

Factorizar es escribir un polinomio como producto de polinomios más sencillos, igual que 12 = 2²·3. Cada factor (x−a) corresponde a una raíz a.

Sigue siempre este orden y para en cuanto ya no puedas continuar:

  1. Factor común. ¿Todos los términos comparten un número o una x? Sácalo fuera.
  2. Identidades notables. ¿Es una diferencia de cuadrados o un trinomio cuadrado perfecto?
  3. Raíces enteras + Ruffini. Prueba los divisores del término independiente. Con cada raíz, baja el grado.
  4. Ecuación de segundo grado. Si te queda ax2+bx+c, resuélvela con la fórmula.

Paso 1: factor común

Factoriza 3x3 − 12x. Los tres términos tienen un 3 y una x.

  1. Saca factor común: 3x(x2 − 4).
  2. Dentro queda una diferencia de cuadrados: x2 − 4 = (x−2)(x+2).
  3. Resultado: 3x(x − 2)(x + 2)

Paso 2: identidades notables

Factoriza x4 − 16.

  1. Es una resta de cuadrados: x4 − 16 = (x2)2 − 42 = (x2−4)(x2+4).
  2. El primer factor vuelve a ser una diferencia de cuadrados: x2−4 = (x−2)(x+2).
  3. Resultado: (x − 2)(x + 2)(x2 + 4)
Idea clave
x2 + 4 ya no se puede factorizar con números reales: no tiene raíces, porque x2 = −4 no tiene solución.

Paso 3: raíces enteras y Ruffini

Factoriza x3 + 2x2 − 5x − 6.

  1. Los divisores de −6 son ±1, ±2, ±3, ±6. Probamos: P(−1) = −1+2+5−6 = 0, así que −1 es raíz.
  2. Divide con Ruffini entre x+1 (con a = −1):
    12−5−6
    −1−1−16
    11−60
  3. Queda x2 + x − 6. Es de segundo grado: x2+x−6 = (x+3)(x−2).
  4. Resultado: (x + 1)(x − 2)(x + 3)

Paso 4: si queda un segundo grado

Para ax2 + bx + c, las raíces son:

x = −b ± √(b2−4ac)2a

y se factoriza como a(x−x1)(x−x2). El número bajo la raíz, b2−4ac, decide cuántas raíces hay:

b² − 4acRaíces realesEjemplo
mayor que 0dos distintasx2−5x+6 → 3 y 2
igual a 0una doblex2−6x+9 → 3 (doble)
menor que 0ninguna: no se factorizax2+4

Ejemplo con x2 − 5x + 6: b2−4ac = 25−24 = 1, y x = 5 ± 12, es decir x = 3 y x = 2. Por tanto (x − 2)(x − 3).

Raíces dobles

Factoriza x3 − 3x + 2. Probamos P(1) = 1−3+2 = 0, así que 1 es raíz.

  1. Ruffini con a = 1 y coeficientes 1, 0, −3, 2: da cociente x2 + x − 2 y resto 0.
  2. Factoriza el cociente: x2+x−2 = (x−1)(x+2).
  3. Resultado: (x − 1)2(x + 2). El factor (x−1) aparece dos veces: 1 es una raíz doble.

Errores típicos

Mal
x2 − 9 = (x−3)2
Bien
x2 − 9 = (x−3)(x+3)

Una resta de cuadrados lleva un factor con + y otro con −.

Mal
Con raíz 2, el factor es (x+2)
Bien
Con raíz 2, el factor es (x−2)

El factor siempre cambia el signo de la raíz.

Mal
2x3 − 8x = x(2x2 − 8) y parar
Bien
2x3 − 8x = 2x(x−2)(x+2)

El factor común máximo es 2x, y lo que queda aún se puede factorizar.

Truco
Al terminar, multiplica los factores: tiene que salir el polinomio de partida.

Pruébalo tú

Resuelve primero en tu cuaderno y luego comprueba.

Pruébalo tú

Factoriza 2x3 − 8x.

Comprobar mi resultado
  1. Factor común 2x: 2x(x2−4).
  2. Diferencia de cuadrados: x2−4=(x−2)(x+2).

Resultado: 2x(x − 2)(x + 2)

Pruébalo tú

Factoriza x3 − 6x2 + 11x − 6 sabiendo que 1 es raíz.

Comprobar mi resultado
  1. 1−611−6
    11−56
    1−560
  2. El cociente x2 − 5x + 6 se factoriza como (x−2)(x−3).

Resultado: (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Ahora practica
5 ejercicios con solución paso a paso, de básico a reto.
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